等速円運動の射影は

ｘ(ｔ) = ｘmcos (ωｔ + φ)

である。
向心加速度は

ａ = ｖ2/ｘm = ω2ｘm

と表され、単振動になっている。

速度に比例する減衰力

Ｆd = -ｂｖ

があるとき、

Ｆ = -ｂｖ - ｋｘ = ｍａ = ｍ d2ｘ/dｔ2

この解は

ｘ(ｔ) = ｘme-bt/2mcos (ω'ｔ + φ)

角振動数は

ω' = √(ｋ/ｍ - ｂ2/4ｍ2)

減衰が小さいとき

ω' ≈ ω = √(ｋ/ｍ)

力学的エネルギーは

Ｅ(ｔ) = 1/2 ｋｘm2e-bt/m

となり、指数関数的に減衰する。

強制振動

ｘ(ｔ) = ｘmcos (ωdｔ + φ)

をするとき、

ωd = ω = √(ｋ/ｍ)

のとき共鳴が起きる。